www.boxhofer.at Didaktik und Mathetik der Mathematik 1. Semester - Einführung und Grundlagen in die Didaktik der Mathematik RECHNEN IST RELATIV. Mathematiker denken ja oft so eng! Und die Ängste,  die bei vielen Schüler/-innen durch Mathematik entstehen, hängen manchmal mit diesem Korsett von Axiomen und  allgemeingültigen Gesetzen zusammen. Scheinbar unmissverständliche Gegebenheiten wie das Ergebnis einer einfachen Division, sagen wir 29 : 3, entwickeln in unseren Gehirnen kreative Denkformen, ohne die eine intellektuelle Entwicklung der Menschheit nicht möglich wäre. Die Mathematik  - und im Speziellen die Schulmathematik - ist gut beraten, derlei kreative Ansätze nicht nur zu tolerieren, sondern auch zu fördern und zu diskutieren. Vorbemerkungen (aus: Unser Lesebuch 5, Cornelsen, Volk und Wissen Verlag, Berlin 1997 - Illustration: Katharina Knebel) Wie rechnen Sie eigentlich “Kopf”? Und wenn man ganz schnell etwas gefragt wird, scheitert man manchmal auch an den einfachsten Aufgaben: Ich möchte Ihre Vorstellungen von Mathematik erweitern – oder vielleicht auch wieder in Erinnerung rufen! Unsere Wahrnehmung ist an Prozesse der Aufnahme und Organisation von Informationen aus der Umgebung gebunden. Solche Prozesse nennt man auch datengeleitete oder Bottom-up-Prozesse. (Zimbardo, Psychologie Berlin 1992) Aber lassen wir das! Das folgende Beispiel zeigt sehr anschaulich was damit gemeint ist: Da fällt Ihnen wahrscheinlich gar nicht so viel auf bei diesem Bild? Außer, dass es auf dem Kopf steht! Aber drehen Sie einmal den Bildschirm um oder machen Sie einen Kopfstand! Na gut! Es geht auch einfacher! Klicken Sie einmal auf das Bild! Hoppala! Diese Häßlichkeit war vorher gar nicht zu erkennen. Bedingt durch umfangreiche Erfahrungen sind wir sehr sensibel für subtile Unterschiede der Form und Lage von Augen und Mund – aber nur wenn wir sie in der typischen aufrechten Form sehen. Auch die Vorstellungen von mathematischen “Umgangsformen” haben sich sozusagen "eingespielt". Betrachten Sie das nächste Bild! Wer könnte das sein? Machen Sie die Augen ganz klein - vielleicht fällt es Ihnen dann leichter! Das unscharfe Betrachten eines Bildes ermöglicht erst das Erkennen der Gesamtstruktur. Unser Gehirn komplettiert die Wirklichkeit. Mathematik kann nur erlebbar werden, wenn wir Denkprozesse strategisch in den Alltag transferien können. Unser Gehirn ergänzt die Wirklichkeit trotz fehlender Teile zu einem Ganzen. Wenn Sie analog telefonieren, werden die meisten Vokale nur unzureichend übertragen, trotzdem verstehen Sie die meisten Wörter ohne Probleme. Im Hebräischen werden Vokale nicht geschrieben, trotzdem kann man sie lesen. Ähnlich verhält es sich mit dem folgenden Text: “Ausmerksamkeit erregen” ist eine der Grundtugenden von spannendem Unterricht  - und nicht nur dort. Eine mathematische Aufgabenstellung könnte folgendermaßen aussehen: Die Lnsuög lteuat:    k² = (k – 3) · k   +   3 · k Bei der Lösungsformel funktioniert diese “Lesefähigkeit” nicht. Hier können die Zeichen innerhalb der Formel nicht beliebig vertauscht werden. Lösungsstrategien sind manchmal unabhängig von “eingelernten” mathematischen Modellen. Schulmathematik erschöpft sich manchmal in der Reproduktion von Modellen, die von den Schüler/-innen oft nicht verstanden werden. Moderner Unterricht schließt neben diesen - natürlich notwendigen - mathematischen Modellen auch individuelle Lösungsstrategien mitein und ermöglicht Querdenken im Sinne unorthodoxer Lösungswege. Durch Umlegen eines einzigen Streichholzes soll die Gleichung richtig werden. Das Gleichheitszeichen dürfen Sie nicht verändern. (Die Lösung erfahren Sie durch Anklicken.) Können Sie den Fehler finden? Führen Sie die Zahlenreihe richtig weiter und finden sie die Funktion dazu: 1 11 21 1211 111221 312211 13112221 1113213211 Die Speicherung von Informationen, Hirnvernetzungen, die Kraft der Assoziationen und das Verfügen über den Wissensspeicher in unseren Gehirnen - all diese Fähigkeiten stellen sich zum Teil erst nachgeburtlich ein. Die Verarbeitung sprachlicher Informationen wird überhaupt erst in der Pubertät abgeschlossen. Auch wenn die ersten Lebensjahre im Sinne einer Prägung wichtiger sind als alle weiteren, bedeutet das nicht, dass nicht auch eine Steigerung von Intelligenz im weitesten Sinn und ein Erlernen zielführender Strategien zur Bewältigung unseres Lebens möglich ist. Die Leistungsfähigkeit unseres Gehirns ist beschränkt. Ein Problem in Sekundenschnelle zu lösen, gilt als bessere Leistung, als wenn man dafür Stunden oder Jahre benötigt. Die Evolution hat zwar glanzvolle Errungenschaften vorzuweisen - allerdings in welchem Zeitraum? Werden wir bald Maschinen bauen, die intelligenter sind als wir? Kann Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn selbst nicht mehr heben kann? Algorithmen werden ständig in kreativer Weise neu erschaffen. Denken lässt sich auch im Kontext der Begriffe richtig, wahr und sicher betrachten. Wahrheit verlangt keine Widerspruchsfreiheit im Sinne aristotelischer Axiome - Richtigkeit schon (zumindest im mathematischen Sinn) - sicher sind die überprüften Naturgesetze (vorausgesetzt, die Messinstrumente sind richtig oder wahr oder sicher oder .....) Denken und Denkstrategien werden meist im Zusammenhang mit klassischer Problemlösung betrachtet. Problem - Analyse des Problems - Lösungsstrategie - Umsetzung der Strategie - Lösung des Problems (oder auch nicht) - neue Strategie, vielleicht neue Analyse des Problems. .....und Leben ist mehr als der Laplace´sche Dämon meint, der alles berechenbar wähnt. Unser Gehirn kann ca. 126 Informationsbits pro Sekunde verarbeiten - zumindest was unsere bewusste Aufmerksamkeit betrifft. Wenn jemand mit uns spricht, werden bereits 40 Bits benötigt. 86 bleiben dann für Sinneseindrücke übrig. John von Neumann berechnete, dass das menschliche Gedächtnis - oder heißt es Gedächnis ohne t - 280 Trillionen Bits speichern kann. Menschliches Denken ist also auch in seiner Gesamtheit beschränkt - in Form von Aufmerksamkeit sowieso. Konzentration erfordert Abschottung und sollte möglichst viel von diesem Bit-Reservoir zur Verfügung haben - also Stöpsel in die Ohren! Synapsen - Dentriten - Axone - Neuron - Gliazellen. Denken ist ein Spiel mit Kombinationen: Bilder aus der Erinnerung werden von Sinneserfahrungen umgeben, eingebettet in die visuellen Reize, die mit olifaktorischen Eindrücken überlagert sind. Der ganze Eintopf wird gewürzt mit unseren emotionalen Kompetenzen und womöglich noch mit muskulären Eindrücken verfeinert. Daraus entsteht ein produktiver Denkprozess - der schmeckt, wenn man benutzt, was man braucht. Denken ist Memorieren, ein Sich-etwas-merken. Kennen Sie Shereshevesky? Egal! Der konnte sich folgende Silben, die keinen Sinn ergeben und völlig bedeutungslos sind, ganz leicht und schnell einprägen und wusste sie 8 Jahre später immer noch auswendig. ma va na sa na va na sa na ma va sa na ma va na va sa na va na ma na va na va na ma na ma sa ma va na sa ma sa va na na sa ma va ma na Probieren Sie das einmal nach 5 Minuten, wenn Sie sich die Silben überhaupt merken können. Shereshevesky konnte auch keine mnemotechnischen Tricks anwenden. (Mnemotechnik ist das Verfahren, sich Dinge leicht einzuprägen) Linear und vernetzt ist unser Denken. Zusammenhänge auf einer Linie - die Linie im Netz - ein Sturm im Gehirn = Brainstorming. Links und rechts - Gehirnhälften im Widerstreit - oder besser im Zusammenspiel - besonders auch beim Denken! Die linke Gehirnhälfte will Beamter werden, die rechte Rennfahrer  - zumindest eine männliche rechte Hälfte! Zwischenmenschliche Kommunikationsprobleme könnten daher rühren, dass wir unser Gegenüber mit der rechten Gehirnhälfte betrachten, während wir sie mit der linken kontrollieren. Was haben wir im Kopf? Die einzelnen Regionen unseres Gehirns sind ziemlich dumm. Keine weiß alles! Erst das Zusammenspiel lässt im konstruktivistischen Sinn die Realität entstehen. Denken hat mit Bewusstsein zu tun. Biochemische Prozesse münden in ein Konstrukt der Wirklichkeit. Wie kommt die Welt in unseren Kopf? Im Netzwerk des menschlichen Gehirns kann die Zerstörung auch nur eines einzigen weiterleitenden Nervenstrangs ein Erinnerungssystem komplett ausschalten. Manche Hirnforscher haben einen holistischen Ansatz und meinen, dass das Gehirn wie ein Hologramm funktioniert. Jeder Gedächtnisinhalt ist gleichzeitig an mehreren Stellen präsent. Denken ist ein Wunder. Durch Denken wird die Wirklichkeit in der Hardware des Gehirns dargestellt. Die Symbolik spielt dabei eine große Rolle. Die Dinge der Wirklichkeit erfahren eine symbolische Abbildung in unserem Gehirn. Wir bilden komplexe Module für bestimmet Denkanstrengungen und wir haben Schwierigkeiten Symbole zu entwirren. Ohne Schleifen und Rekursionen sind Lösungsansätze größerer Komplexität nicht möglich. Denken ist anstrengend. Dechiffrieren von verschlüsselten Texten oder auch das Knacken von Codes oder auch das Verstehen von Hieroglyphen verlangt kreative Denkansätze. Stellen Sie sich vor, Sie hätten Bücher einer Sprache, die Sie nicht verstehen, von deren Grammatik Sie nichts wissen. Wie würden Sie beginnen? Welche Strategie würden Sie anwenden. Das Hirn im Bauch. Aus dem Bauch denken. Sich aus Angst in die Hose machen - wo Angst doch im Gehirn passiert. Darm und Hirn schauen so verschieden nicht aus. Dinosaurier vor 60 Millionen Jahren hatten ein zweites Gehirn in der Bauchgegend - wirklich. Nicht über den gesamten Verdauungsapparat verteilt, sondern als großen Klumpen, so wie im Kopf - beim Brontosaurier sogar größer als dort. Unser Gehirn arbeitet nicht perfekt - leider. Komplexe, vernetzte und dynamische Handlungssituationen zwingen das Gehirn zu Fehlern. Ebenso das "Denken in Wahrscheinlichkeiten". In komplexen Systemen denken wir an die einzelnen Knoten und vergessen das Netz. Wir beachten nicht, dass man keine Größe im ganzen System verändern kann, ohne gleichzeitig alle anderen zu beeinflussen. Dietrich Dörner zeigt in "Die Logik des Misslingens" an Beispielen aus den verschiedensten Gebieten, warum unser Denken so leicht scheitert und wie man strategisches Denken in komplexen Systemen doch methodisch anpacken und bewältigen kann. Was hat das alles mit “Mathematik lehren” zu tun? Sie werden schon noch sehen!